Primárias nos EUA: sem equilíbrio de Nash

Estou cursando a disciplina "Teoria dos Jogos". Metade da nota provém de uma prova no final do semestre, outra metade, de um trabalho em grupo. O trabalho em grupo consiste em demonstrar um caso da realidade onde se utiliza o instrumental da Teoria dos Jogos, e verificar estratégias e resultados de cada jogador.

Meu grupo optou pelas eleições presidenciais nos EUA este ano. Facilitou o fato de eu já ter trabalhado com isso em minha monografia de graduação e um dos meus colegas ser dos EUA. Ele acompanha de perto o processo e torce por Ron Paul.

Eleição é um típico caso no qual a Teoria dos Jogos pode ser aplicada. Existem vários jogadores: eleitores, candidatos e partidos. Cada um adota estratégias para maximizar sua utilidade. O eleitor têm sua utilidade maximizada quando o candidato eleito tem posições políticas parecidas e se mostra competente para implementar tais posições. O candidato quer ser escolhido para representar seu partido, e depois ganhar a eleição. O partido quer ser eleito tanto para poder implementar suas posições políticas, quando pelo benefício em si de estar no poder. Aplica-se a Teoria dos Jogos porque o resultado para cada jogador depende não só de sua própria estratégia, como também da estratégia dos outros jogadores.

Para simplificar, consideramos apenas dois jogadores: o típico eleitor democrata, e o típico eleitor republicano. Cada eleitor escolhe o candidato de seu partido nas primárias de acordo com dois critérios: qual candidato tem as posições políticas com as quais o eleitor mais se identifica, e qual candidato tem maior probabilidade de ganhar as eleições nacionais de novembro. Considera-se o espectro político uma linha de 0 até 1, sendo 0 a posição mais de esquerda possível e 1 a posição mais de direita possível. Evitando maiores complicações, assume-se que o eleitor típico democrata é 0 e o típico republicano é 1. Os pré-candidatos têm suas posições distribuídas da seguinte forma:

(informações para quantificar as posições de cada um foram retiradas de http://www.2decide.com/table.htm, que inclui a posição dos pré-candidatos em assuntos como atendimento à saúde, salário mínimo, Iraque, segurança e religião)

Se pensassem apenas no candidato com maior identificação, o eleitor democrata escolheria Hillary Clinton e o republicano, Mitt Romney. Mas é necessário pensar também em quem tem mais probabilidade de ganhar em novembro. Aí que entra a interdependência estratégica da Teoria dos Jogos. Se os democratas escolherem um candidato café-com-leite, o republicano pode escolher Romney, o mais direitista de seu partido. Agora, se os democratas escolherem um candidato com mais chances de ganhar, os republicanos, seguindo a estratégia do "melhor perder os anéis do que os dedos", terão que optar por um candidato mais moderado e mais eleitoreiro, como John McCain, por exemplo. Para um repuplicano extremista de direita 1, é melhor o 0,833 de Romney do que o 0,625 de McCain, mas é melhor o 0,652 de McCain do que o 0,2 de algum democrata que poderia ganhar de Romney.

As probabilidades de cada candidato ganhar a eleição são dadas pelas seguintes pesquisas de opinião (Rasmussen 14 de janeiro):

Clinton 47,1% McCain 52,9%
Obama 49,6% McCain 50,4%
Edwards 52,1% McCain 47,9%
Cinton 51,3% Giuliani 48,7%
Obama 55,5% Giuliani 44,5%
Edwards 51,5% Giuliani 48,5%
Clinton 52,4% Huckabee 47,6%
Obama 55,5% Huckabee 44,5%
Edwards 58% Huckabee 42%
Clinton 53,4% Romney 46,6%
Obama 58,8% Romney 41,2%
Edwards 60,6% Romney 39,4%
Clinton 54,1% Thompson 45,9%
Obama 56,8% Thompson 43,2%
Edwards 59% Thompson 41%
Clinton 57% Paul 43%
Obama 61,7% Paul 38,3%

A utilidade esperada de cada eleitor dependerá da distância de posição em relação à dos dois candidatos e da probabilidade de cada um ser eleito. A fórmula é a seguinte, para ambos os eleitores:

Utilidade esperada = [-(sua posição-posição do candidato democrata)^2*probabilidade do democrata ser eleito] + [-(sua posição-posição do candidato republicano)^2*probabilidade do republicano ser eleito]


Repara-se que a utilidade é sempre negativa, pois maior a distância, menor a utilidade (mais negativa).


Utilizando-se esta fórmula, chegou-se a esta matriz de utilidade esperada para o eleitor democrata (linhas) e republicano (colunas):



infelizmente fiocu o buraco porque não havia pesquisa disponível Edwards X Paul

Repara-se que não há equilíbrio de Nash: quando o republicano escolhe Huckabee, Romney, Thompson ou McCain, a melhor opção para o democrata é escolher Edwards. Quando o democrata escolhe Edwards, o republicano escolhe Giuliani. Mas Giuliani é o único que não induz o democrata a escolher Edwards.